Математические софизмы. Презентация на тему "софизмы и парадоксы" Математические софизмы презентация

Кошевая Виолетта

Софизм (от греческого sophisma – уловка, ухищрение, выдумка, головоломка) – умозаключение или рассуждение, обосновывающее какую-нибудь заведомую нелепость, абсурд или парадоксальное утверждение, противоречащее общепринятым представлениям. Каким бы ни был софизм, он всегда содержит одну или несколько замаскированных ошибок.

Софистами называли группу древнегреческих философов 4-5 века до н.э., достигших большого искусства в логике. В период падения нравов древнегреческого общества(5 век) появляются так называемые учителя красноречия, которые целью своей деятельности считали и называли приобретение и распространения мудрости, вследствие чего они именовали себя софистами

Скачать:

Предварительный просмотр:

Чтобы пользоваться предварительным просмотром презентаций создайте себе аккаунт (учетную запись) Google и войдите в него: https://accounts.google.com

Подписи к слайдам:

Софизмы и парадоксы Работу выполнила: Кошевая Виолетта, 11 «Б» класс Учитель: Кончина Г.К. 2015 год

Классификация софизмов Логические Алгебраические софизмы Геометрические софизмы

« Один рубль не равен ста копейкам» Известно, что любые два равенства можно перемножить почленно, не нарушая при этом равенства, т. е. если а = b и c = d , то ac = bd . Применим это положение к двум очевидным равенствам: 1 рубль = 100 копейкам и 10 рублей = 1000 копеек Перемножая эти равенства почленно, получим 10 рублей = 100 000 копеек и разделив последнее равенство на 10, получим, что 1 рубль = 10 000 копеек Таким образом, один рубль не равен ста копейкам. Где ошибка?

проверим Разбор софизма: Ошибка, допущенная в этом софизме, состоит в нарушении правила действий с именованными величинами: все действия, совершаемые над величинами, необходимо совершать также и над их размерностями.

«Дважды два - пять» Напишем тождество 4:4=5:5. Вынесем из каждой части тождества общие множители за скобки, получаем: 4(1:1)=5(1:1) или 2*2=5 Так как 1:1=1 , то сократим и получим Где ошибка?

проверим Разбор софизма. Ошибка сделана при вынесении общих множителей 4 из левой части и 5 из правой. Действительно, 4:4=1:1, но 4:4≠4(1:1).

« Спичка вдвое длиннее телеграфного столба» Пусть а дм - длина спички и b дм - длина столба. Разность между b и a обозначим через c . Имеем b - a = c , b = a + c . Перемножаем два эти равенства по частям, находим: b 2 - ab = ca + c 2 . Вычтем из обеих частей bc . Получим: b 2 - ab - bc = ca + c 2 - bc , или b (b - a - c) = - c (b - a - c), откуда b = - c , но c = b - a , поэтому b = a - b , или a = 2b. Где ошибка???

проверим В выражении b (b-a-c)= - c (b-a-c) производится деление на (b-a-c), а этого делать нельзя, так как b-a-c=0.Значит, спичка не может быть вдвое длиннее телеграфного столба.

«Полупустое и полуполное» «Полупустое есть то же, что и полу полное. Если равны половины, значит, равны и целые. Следовательно, пустое есть то же, что и полное».

Разбор софизма. Ясно, что приведенное рассуждение неверно, так как в нем применяется неправомерное действие: увеличение вдвое. В данной ситуации его применение бессмысленно. проверим

«Софизм учебы » песенка, сочиненная английскими студентами: The more you study, the more you know The more you know, the more you forget The more you forget, the less you know The less you know, the less you forget The less you forget, the more you know So why study ? Перевод. Чем больше учишься, тем больше знаешь. Чем больше знаешь, тем больше забываешь. Чем больше забываешь, тем меньше знаешь. Чем меньше знаешь, тем меньше забываешь. Но чем меньше забываешь, тем больше знаешь. Так для чего учиться?

Парадокс (греч. "пара" - "против", " докса " - "мнение") близок к софизму. Но от него он отличается тем, что это не преднамеренно полученный противоречивый результат. Парадокс - странное, расходящееся с общепринятым мнением, высказывание, а также мнение, противоречащее (иногда только на первый взгляд) здравому смыслу (словарь Ожегова). В широком смысле парадокс - высказывание, истинность которого неочевидна. Парадоксальными называются любые неожиданные противоречивые высказывания. Математический парадокс – высказывание, которое может быть доказано и как истинна, и как ложь. Парадоксы

Ахиллес и черепаха движутся по прямой в одну и ту же сторону, черепаха находится на расстоянии 1000 метров впереди Ахиллеса. Ахиллес бежит в 10 раз быстрее, чем ползёт черепаха. Ахиллес никогда не догонит черепаху. «Парадокс Зенона об Ахиллесе и черепахе».

Ахиллес никогда не догонит черепаху, ведь пока он пробежит 1000 метров до того места, где находилась черепаха, та уже отползёт на 100 метров вперёд. Когда же Ахиллес пробежит и эти 100 метров, черепаха отползёт ещё немного дальше. Это будет продолжаться бесконечно: каждый раз, когда Ахиллес бежит до места, где была черепаха, она уже отползёт на некоторое расстояние. «Доказательство»

Критянин Эпименид сказал: "Все критяне лжецы". Эпименид сам критянин. Следовательно, он лжец. Но если Эпименид лгун, тогда его заявление, что все критяне лгуны - ложно. Значит, критяне не лгуны. Между тем Эпименид, как определено условием, критянин, следовательно, он не лгун, и поэтому его утверждение "все критяне лгуны" - истинно. «Парадокс лжеца»

В некой деревне, где жил единственный парикмахер-мужчина, был издан указ: "Парикмахер имеет право брить тех и только тех жителей деревни, которые не бреются сами". Спрашивается, может ли парикмахер брить сам себя? Как будто не может, поскольку это запрещено указом. И вместе с тем, если он не бреет себя, значит, попадает в число тех жителей, которые не бреются сами, а таких людей парикмахер имеет право брить. «Парадокс парикмахера»

Два приятеля однажды вели такой разговор. - Видишь кучу песка? - спросил первый. - Я-то её вижу, - ответил второй, - но её нет на самом деле. - Почему? - удивился первый. - Очень просто, - ответил второй. - Давай рассудим: одна песчинка, очевидно, не образует кучи песка. Если n песчинок не могут образовать кучи песка, то и после прибавления ещё одной песчинки они по-прежнему не могут образовать кучи. Следовательно, никакое число песчинок не образует кучи, т. е. кучи песка нет. «Парадокс кучи»

ПАРАДОКС - это два противоположных утверждения, для каждого из которых имеются кажущиеся убедительными аргументы. Парадокс в более узком и более современном значении – это два противоположных утверждения, для каждого из которых имеются убедительные аргументы. Софизмы являются логически неправильными рассуждениями, выдаваемыми за правильные и доказательные. Софизм – это обман. Но обман тонкий и закамуфлированный, так что его не сразу и не каждому удается раскрыть. Вывод:

Список литературы. А.Г. Мадера, Д.А. Мадера «Математические софизмы» Москва, «Просвещение», 2003г. Ф.Ф. Нагибин, Е.С. Канин «Математическая шкатулка» Москва, «Просвещение», 1988г. «Большая энциклопедия Кирилла и Мефодия 2004г Литература

Слайд 2

Цель проекта: Значение математических софизмов в развитии логического мышления школьников.

Задачи проекта: Познакомиться с понятием – софизм. Рассмотреть примеры математических софизмов. Провести исследование по школе среди учащихся 6-х, 7-х и 9-х классов. Проанализировать полученные результаты. Используемые методы: Изучение литературы Решение математических задач Сбор и обработка данных с помощью информационных технологий Создание презентации

Слайд 3

Что такое софизм

Софизм (от греч. sophisma – уловка, выдумка, головоломка), формально кажущееся правильным, но по существу ложное умозаключение, основанное на преднамеренно неправильном подборе исходных положений. Виды математических софизмов: Арифметические софизмы Алгебраические софизмы Геометрические софизмы Правильно понятая ошибка – это путь к открытию И.П. Павлов.

Слайд 4

Примеры алгебраических софизмов

Пример 1. 1 р. = 10 000 к. Возьмём верное равенство: 1 р. = 100 к. Возведём его по частям в квадрат. Мы получим: 1 р. = 10 000 к. Вопрос: В чём ошибка? Ответ: Возведение в квадрат величин не имеет смысла. В квадрат возводятся только числа. Пример 2 5=6 Попытаемся доказать, что 5 = 6. С этой целью возьмём числовое тождество: 35 + 10 – 45 = 42 + 12 – 54. Вынесем общие множители левой и правой частей за скобки. Получим: 5 (7 + 2 – 9) = 6 (7 + 2 – 9). Разделим обе части этого равенства на общий множитель (заключённый в скобки). Получаем 5=6 Вопрос: В чём ошибка? Ответ: Общий множитель (7 + 2 – 9) равен 0, а делить на 0 нельзя.

Слайд 5

Примеры геометрических софизмов

Загадочное исчезновение У нас есть произвольный прямоугольник, на котором начерчено 13 одинаковых линий на равном расстоянии друг от друга, так, как показано на рис. 1. Теперь «разрежем» прямоугольник прямой MN, проходящей через верхний конец первой и нижний конец последней линии. Сдвигаем обе половины вдоль по этой линии и замечаем, что линий вместо 13 стало 12. Одна линия исчезла бесследно. Вопрос: Куда исчезла 13-я линия? Ответ: 13-я линия удлинила каждую из оставшихся на 1/12 своей длины. «Новое доказательство» теоремы Пифагора Возьмём прямоугольный треугольник с катетами a и b, гипотенузой c и острым углом , противолежащим катету a. Имеем: a = c sin , b = c cos , откуда a2 = c2 sin2, b2 = c2 cos2. Просуммировав по частям эти равенства, получаем: a2 + b2 = c2 (sin2 + cos2). Но sin2 + cos2 = 1, и поэтому a2 + b2 = c2. Вопрос: В чём ошибка? Ответ: Ошибки здесь нет. Но формула sin2 + cos2 = 1 сама выводится на основании теоремы Пифагора. N M Рис. 1

Слайд 6

Проведение исследования

Тема исследования «Нахождение ошибки в доказательстве софизма» Метод исследования – эксперимент Участники исследования – учащиеся 6,7,9 классов школы Задача исследования: возможность нахождения ошибки в доказательстве софизма

Слайд 7

Нахождение ошибки в доказательстве софизмов

Алгебраические софизмы Пример 1.1 р. = 10 000 к. Пример 2.5 = 6 Пример 3.2 + 2 = 5 Пример 4.Любое число равно его половине Пример 5.Расстояние от Земли до Солнца равно толщине волоска Пример 6.Любое число = 0 Геометрические софизмы Пример 1.Загадочное исчезновение. Пример 2.Земля и апельсин. Пример 3.Два перпендикуляра. Пример 4.«Новое доказательство» теоремы Пифагора.

Слайд 8

Основные ошибки в софизмах

Деление на 0; неправильные выводы из равенства дробей; неправильное извлечение квадратного корня из квадрата выражения; нарушения правил действия с именованными величинами; путаница с понятиями “равенства” и “эквивалентность” в отношении множеств; проведение преобразований над математическими объектами, не имеющими смысла; неравносильный переход от одного неравенства к другому; выводы и вычисления по неверно построенным чертежам; ошибки, возникающие при операциях с бесконечными рядами и предельным переходом.

учитель математики

Ливадийского УВК

Постернакова Ольга Глебовна

ПОНЯТИЕ СОФИЗМА

Софизм - (от греческого sophisma – уловка, ухищрение, выдумка, головоломка), умозаключение или рассуждение, обосновывающее какую-нибудь заведомую нелепость, абсурд или парадоксальное утверждение, противоречащее общепринятым представлениям.

Софистами называли группу древнегреческих философов 4-5 века до н.э., достигших большого искусства в логике. В период падения нравов древнегреческого общества (5 век) появляются так называемые учителя красноречия, которые целью своей деятельности считали и называли приобретение и распространения мудрости, вследствие чего они именовали себя софистами.

Наиболее известна деятельность старших софистов, к которым относят Протагора из Абдеры, Горгия из Леонтип, Гиппия из Элиды и Продика из Кеоса.

Известнейший ученый и философ Сократ по началу был софистом, активно участвовал в спорах и обсуждениях софистов, но вскоре стал критиковать учение софистов и софистику в целом. Философия Сократа была основана на том, что мудрость приобретается с общением, в процессе беседы.

Запрещенные действия;
пренебрежение условиями теорем; формул и правил;
ошибочный чертеж;
опора на ошибочные умозаключения.

ФОРМУЛА УСПЕШНОСТИ СОФИЗМА

Успешность софизма определяется следующей формулой:

a + b + c + d + e + f ,

где (a + с + е) составляет показатель силы диалектика, (b + d + f) есть показатель слабости его жертвы.

а - отрицательные качества лица (отсутствие развития способности управлять вниманием). b - положительные качества лица (способность активно мыслить) с - аффективный элемент в душе искусного диалектика d - качества, которые пробуждаются в душе жертвы софиста и омрачают в ней ясность мышления е - категоричность тона, не допускающего возражения, определённая мимика f - пассивность слушателя
а - отрицательные качества лица (отсутствие развития способности управлять вниманием).
b - положительные качества лица (способность активно мыслить)
с - аффективный элемент в душе искусного диалектика
d - качества, которые пробуждаются в душе жертвы софиста и омрачают в ней ясность мышления
е - категоричность тона, не допускающего возражения, определённая мимика
f - пассивность слушателя

Сумма любых двух одинаковых чисел равна нулю.
Возьмем произвольное не равное нулю число а и напишем уравнение х = а. Умножая обе его части на (-4а), получим -4ах = -4а 2 . Прибавляя к обеим частям последнего равенства х 2 и перенеся член -4а 2 влево с противоположным знаком, получим х 2 -4ах + 4a 2 = х 2 , откуда, замечая, что слева стоит полный квадрат, имеем
(х-2а) 2 = х 2 , х-2а = х.
Заменяя в последнем равенстве х на равное ему число а, получим а-2а = а, или -а = а, откуда 0 = a + a,
т. е. сумма двух произвольных одинаковых чисел а равна 0.

Все числа равны между собой
Докажем, что 5=6.
Запишем равенство:
35+10-45=42+12-54
Вынесем за скобку общие
множители: 5∙(7+2-9)=6∙(7+2-9).
Разделим обе части этого равенства на
общий множитель (он заключен в скобки):
5∙(7+2-9)=6∙(7+2-9).
Значит, 5=6 .

«Дважды два равно пяти».
Обозначим 4=а, 5=b, (a+b)/2=d. Имеем: a+b=2d, a=2d-b, 2d-a=b. перемножим два последних равенства по частям. Получим: 2da-a*a=2db-b*b. Умножим обе части получившегося равенства на –1 и прибавим к результатам d*d. Будем иметь: a 2-2da+d2=b2 -2bd+d2, или (a-d)(a-d)=(b-d)(b-d), откуда a-d=b-d и a=b, т.е. 2*2=5

« Спичка вдвое длиннее телеграфного столба»
Пусть а дм - длина спички и b дм - длина столба. Разность между b и a обозначим через c .
Имеем b - a = c, b = a + c. Перемножаем два эти равенства по частям, находим: b 2 - ab = ca + c 2 . Вычтем из обеих частей bc. Получим: b 2 - ab - bc = ca + c 2 - bc, или b(b - a - c) = - c(b - a - c), откуда: b = - c, но c = b - a, поэтому b = a - b, или a = 2b.

ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЙ СОФИЗ м

Бесконечное большое число равно нулю
Если острый угол увеличивается. Приближаясь к 900 как к пределу, то его тангенс, как известно, неограниченно растёт по абсолютной величине, оставаясь положительным: tg90 0 = +∞.
Но если взять тупой угол и уменьшить его, приближая к 900 как к пределу, то его тангенс, оставаясь отрицательным, также неограниченно растёт по абсолютной величине: tg90 0 = - ∞.
Сопоставим формулы (1) и (2): - ∞ = +∞

«Самое быстрое существо не способно догнать самое медленное»
Быстроногий Ахиллес никогда не настигнет медлительную черепаху. Пока Ахиллес добежит до черепахи, она продвинется немного вперед. Он быстро преодолеет и это расстояние, но черепаха уйдет еще чуточку вперед. И так до бесконечности. Всякий раз, когда Ахиллес будет достигать места, где была перед этим черепаха, она будет оказываться хотя бы немного, но впереди.

«Софизм Кратила»
Диалектик Гераклит, провозгласив тезис "все течет", пояснял, что в одну и ту же реку (образ природы) нельзя войти дважды, ибо когда входящий будет входить в следующий раз, на него будет течь уже другая вода. Его ученик Кратил, сделал из утверждения учителя другие выводы: в одну и ту же реку нельзя войти даже один раз, ибо пока ты входишь, она уже изменится.

«Сидящий встал; кто встал, тот стоит; следовательно, сидящий стоит».
«Сократ - человек; человек - не то же самое, что Сократ; значит, Сократ - это нечто иное, чем Сократ».
«Для того чтобы видеть, вовсе необязательно иметь глаза, ведь без правого глаза мы видим, без левого тоже видим; кроме правого и левого, других глаз у нас нет; поэтому ясно, что глаза не являются необходимыми для зрения».
«Тот, кто лжет, говорит о деле, о котором идет речь, или не говорит о нем; если он говорит о деле, он не лжет; если он не говорит о деле, он говорит о чем-то несуществующем, а о нем невозможно не только лгать, но даже мыслить и говорить».

«Одна и та же вещь не может иметь какое-то свойство и не иметь его. Хозрасчет предполагает самостоятельность, заинтересованность и ответственность. Заинтересованность - это, очевидно, не ответственность, а ответственность - не самостоятельность. Получается вопреки сказанному вначале, что хозрасчет включает самостоятельность и несамостоятельность, ответственность и безответственность».

«Акционерное общество, получившее когда-то ссуду от государства, те-перь ему уже не должно, так как оно стало иным: в его правлении не осталось никого из тех, кто просил ссуду».

"Предмет математики настолько серьезен,что полезно не упускать случаев сделать его немного занимательным".
Б. Паскаль

1.познакомится с определением софизма;

2.изучить историю появления софизмов, их роль в развитии математики;

3.рассмотреть примеры математических софизмов, найти ошибки в рассуждениях;

4.составить перечень ошибок;

5.составить собственные софизмы.

Софизм – (от греческого sophisma , «мастерство, умение, хитрая выдумка, уловка») - умозаключение или рассуждение, обосновывающее какую-нибудь заведомую нелепость, абсурд или парадоксальное

утверждение, противоречащее общепринятым представлениям. Софизм основан на преднамеренном, сознательном нарушении правил логики. Каким бы ни был софизм, он всегда содержит одну или несколько замаскированных ошибок.

№ 1 5=6

Возьмём числовое тождество

35+10-45=42+12-54. Вынесем общие множители левой и правой частей за скобки. Получим: 5(7+2-9)=6(7+2-9). Разделим обе части на общий множитель, заключенный в скобки. Получим 5=6

№ 2 2 · 2=5

Имеем числовое равенство 4:4=5:5. Вынесем за скобки в каждой части общий множитель: 4(1:1)=5(1:1). Числа в скобках равны, поэтому 4=5, 2 · 2=5

№ 3 5=1

Из чисел 5 и 1 по отдельности вычтем 3, получим числа 2 и -2. При возведении в квадрат из них получаются равные числа 4 и 4 ,значит, должны быть равны и исходные числа 5 и 1. Где ошибка?

№ 4 4 рубля=40000 копеек

Возьмем равенство 2р.=200к., возведем его в квадрат 4р.=40000к. В чем ошибка?

Решив эти задачи, можно заметить, что в математических софизмах были допущены следующие ошибки:

1.Деление на 0 (№1)

2.Неправильные выводы из равенства дробей (№2)

3.Неправильное извлечение квадратного корня из квадрата выражения (№3)

4.Нарушения правил действия с именованными величинами (№4)

1 слайд

2 слайд

Цели и задачи Целью нашего проекта является всесторонний анализ понятия «софизма», установление связи между софистикой и математикой, влияние софизмов на развитие логики. Мы поставили перед собой задачи: 1. Узнать: что же такое софизм? как найти ошибку во внешне безошибочных рассуждениях? критерии классификации софизмов. 2. Составить сборник задач на софизмы по различным разделам математики для 6-10 классов.

3 слайд

Что такое софизм? Софизм - преднамеренная ошибка, совершаемая с целью запутать противника и выдать ложное суждение за истинное.

4 слайд

Немного из истории софизма Софизмы существуют и обсуждаются более двух тысячелетий, причем острота их обсуждения не снижается с годами.

5 слайд

Немного из истории софизма Возникновение софизмов обычно связывается с философией софистов, которая их обосновывала и оправдывала. Термин “софизм” впервые ввел Аристотель, охарактеризовавший софистику как мнимую, а не действительную мудрость.

6 слайд

Софизм «Мёд» - Скажи, - обращается софист к молодому любителю споров, - может одна и та же вещь иметь какое-то свойство и не иметь его? - Очевидно, нет. - Посмотрим. Мед сладкий? - Да. - И желтый тоже? - Да, мед сладкий и желтый. Но что из этого? - Значит, мед сладкий и желтый одновременно. Но желтый - это сладкий или нет? - Конечно, нет. Желтый - это желтый, а не сладкий. - Значит, желтый - это не сладкий? - Конечно. - О меде ты сказал, что он сладкий и желтый, а потом согласился, что желтый значит не сладкий, и потому как бы сказал, что мед является сладким и не сладким одновременно. А ведь вначале ты твердо говорил, что ни одна вещь не может и обладать и не обладать каким-то свойством.

7 слайд

Софизм «Учеба» The more you study, the more you know The more you know, the more you forget The more you forget, the less you know The less you know, the less you forget The less you forget, the more you know So why study?

8 слайд

9 слайд

Логические ошибки Так как обычно вывод может быть выражен в силлогистической форме, то и всякий софизм может быть сведён к нарушению правил силлогизма.

10 слайд

Терминологические ошибки Неточное или неправильное словоупотребление и построение фразы, более сложные софизмы проистекают из неправильного построения целого сложного хода доказательств, где логические ошибки являются замаскированными неточностями внешнего выражения.

11 слайд

Психологические ошибки Правдоподобность софизма зависит от ловкости того, кто защищает его, и уступчивости оппонента, а эти свойства зависят от различных психологических особенностей обеих индивидуальностей.

12 слайд

Формула успешности софизма Успешность софизма определяется следующей формулой: a + b + c + d + e + f, где (a + с + е) составляет показатель силы диалектика, (b + d + f) есть показатель слабости его жертвы. а - отрицательные качества лица (отсутствие развития способности управлять вниманием). b - положительные качества лица (способность активно мыслить) с - аффективный элемент в душе искусного диалектика d - качества, которые пробуждаются в душе жертвы софиста и омрачают в ней ясность мышления е - категоричность тона, не допускающего возражения, определённая мимика f - пассивность слушателя

13 слайд

«Предмет математики настолько серьёзен, что полезно не упускать случая, делать его немного занимательным», - писал выдающийся ученый XVII века Блез Паскаль.

14 слайд

Сборник задач Алгебраические софизмы Геометрические софизмы Тригонометрические софизмы

15 слайд

Алгебраические софизмы Все числа равны между собой Докажем, что 5=6. Запишем равенство: 35+10-45=42+12-54 Вынесем за скобку общие множители: 5∙(7+2-9)=6∙(7+2-9). Разделим обе части этого равенства на общий множитель (он заключен в скобки): 5∙(7+2-9)=6∙(7+2-9). Значит, 5=6.

16 слайд

Геометрические софизмы Рассмотрим треугольник ABC. Проведем прямую MN параллельно AB так, как показано на рисунке. Теперь для любой точки L стороны AB проведем прямую CL, которая пересечет MN в точке K. Таким образом установим однозначное соответствие между отрезками AB и MN, т.е. они оба содержат одинаковое количество точек. Значит, имеют одинаковую длину.

18 слайд

Заключение Рассмотрев софизмы, мы узнали многое из мира логики. Даже небольшое представление о софизмах значительно расширяет кругозор. Многие вещи, кажущиеся сначала необъяснимыми, выглядят совсем по-иному. Жаль, что в школьном курсе математики не изучаются основы логики. Логическое мышление - ключ к пониманию происходящего, недостаток его сказывается во всем.